गणितगप्पा : पुन्हा समीकरणे..

आज अशोक एक कोडं घेऊन आला होता. सगळे उत्सुकतेने ऐकू लागले. ‘‘दोन मित्र होते, एक आजारातून उठला होता, तर दुसरा नेहमी फिरायला जाणारा, व्यायाम करणारा होता.’’
बाई म्हणाल्या, ‘‘आपण त्यांना नावं देऊया का? म्हणजे जरा सोपं होईल.’’
‘‘आजारातून उठलेला सोहन आणि त्याचा मित्र मोहन!’’ हर्षांनं नावं देऊन टाकली.
‘‘ठीक आहे. सोहनला डॉक्टरांनी रोज थोडं फिरायला सांगितलं होतं, मग त्याच्या मित्रांनी ठरवलं की, सकाळी सात वाजता मोहन त्याच्या घरून सोहनच्या घराकडे जायला निघेल, तर सोहन त्यानंतर पंधरा मिनिटांनी मोहनकडे जायला निघेल. ते दोघे वाटेत भेटले, की दोघं सोहनच्या घरी येऊन कॉफी पितील, मग मोहन आपल्या घरी परतेल.’’
‘‘छान, म्हणजे मित्रांची भेट होईल, सोहनला फिरायला जायला कंपनी मिळेल.’’ मनीषा उद्गारली.
‘‘पण यात कोडं काय आहे?’’ शीतलने विचारले.
‘‘कोडं असं आहे, की मोहन ताशी ४ किलोमीटर वेगाने चालतो, सोहन ताशी ३ किलोमीटर वेगाने चालतो. मोहन घरी आल्यावर त्याच्या लक्षात आले, की तो एकूण फिरण्यात सोहनच्या चौपट अंतर चालला, तर त्या दोघांच्या घरातलं अंतर किती होतं?’’ अशोकने कोडं पूर्ण सांगितलं.
‘‘हे फारच कठीण दिसतंय, कसं काय करणार?’’ सतीश म्हणाला.
‘‘शोधायच्या गोष्टींसाठी अक्षर मानून समीकरण मांडायचं, होय ना?’’ शीतलने विचारले.
‘‘बरोबर, मग दोघांच्या घरातले अंतर क्ष मानूया?’’ बाई म्हणाल्या.
‘‘मोहन तासाला चार किलोमीटर चालतो, तर तो पंधरा मिनिटांत एक किलोमीटर चालला आणि मग सोहन त्याच्या घरातून निघाला, दोघं किती अंतरावर भेटले असतील?’’ मनीषाने विचारले.
‘‘दोघांचा वेग वेगवेगळा आहे. मोहनचा ताशी ४ किलोमीटर, तर सोहनचा ताशी ३ किलोमीटर. म्हणजे सोहन ३क चालला, तर मोहन  ४ क चालतो. दोघांनी मिळून क्ष – १ एवढे अंतर कापले.’’ शीतल म्हणाली.
‘‘पण हे समीकरणात कसं लिहायचं? शिवाय ते क्ष च्या भाषेत कसं लिहायचं?’’ सतीशला प्रश्न पडला.
‘‘आता ३ क + ४ क = क्ष – १ आहे, म्हणून क ची किंमत     क्ष च्या भाषेत लिहूया.’’ अशोकने सुचवले.
मग क = (क्ष -१) / ७ असे उत्तर आले.
‘‘अजून क्ष ची किंमत काढायची आहे, पण समीकरण कुठे आहे?’’ मनीषाला प्रश्न पडला.
‘‘दिलेली माहिती नीट पाहून ती माहिती क्ष च्या समीकरणात मांडायला हवी.’’ बाईंनी सुचवले.
‘‘मोहन एकूण २ क्ष किलोमीटर चालला आणि सोहन
६ क किंवा ६ x (क्ष – १) / ७ किलोमीटर चालला. मोहन सोहनच्या चौपट चालला. म्हणून ४ x ६ x (क्ष- १) / ७ = २ क्ष  हे समीकरण बरोबर आहे ना?’’ शीतलच्या प्रश्नाला बाईंनी ‘‘हो, बरोबर, आता समीकरणं सोडवायचे नियम विसरला नाहीत ना?’’ असे विचारले.
‘‘दोन्ही बाजूंच्या वर समान क्रिया करत नवीन समीकरण मांडत सोडवायचं ना?’’ शीतलने विचारले.
‘‘पण इथे अपूर्णाक आहेत, कठीण दिसतंय,’’ असं सतीश म्हणाला, तेव्हा बाई
समजावू लागल्या, ‘‘फार कठीण नाहीये, पण आपण ते सोपं करून घेऊया. अपूर्णाक नको, तर दोन्ही बाजूंना ७ ने गुणायला येईल की! तूच ७ ने गुणून नवं समीकरण लिही.’’
मग सतीशने ४ x ६ x (क्ष – १) = १४ क्ष असे समीकरण लिहून ‘आता २ ने दोन्ही बाजूंना भागून आणखी सोपं करू,’ असं म्हणत ते
१२ (क्ष – १) = ७ क्ष , मग कंस सोडवून १२ क्ष – १२ = ७ क्ष म्हणून ५ क्ष = २४ व क्ष = २.४ किलोमीटर हे उत्तर शोधून दाखवले व शाबासकी घेतली.
‘‘समीकरण सोडवताना योग्य नियम वापरून आपणच ते सोपं करून घ्यावं, त्यात मूलभूत नियम हाच की, दोन्ही बाजूंच्या वर समान क्रिया केली पाहिजे.’’ बाई असं म्हणाल्यावर शीतल म्हणाली, ‘‘शिवाय तिरका गुणाकार शिकवलाय आम्हाला.’’
‘‘सांग बरं तो नियम,’’ असं सुचवताच तिने लिहून दाखवले. जर
A/ B   =  C/ D     तर तिरका गुणाकार करून
A X D = C X B,
असं समीकरण मिळतं, हे तिने सांगितलं.
‘‘पण हा नियमदेखील पहिल्या समीकरणाच्या दोन्ही बाजूंना  
B X D ने गुणलं, की मिळतो हे लक्षात आलं का? अर्थात बराच उपयोगी आहे, म्हणून तो वेगळा लक्षात ठेवावा.’’ बाई म्हणाल्या.
‘‘आपण समीकरण सोडवताना – १२ हे डाव्या बाजूवरून उजवीकडे नेले, ७ क्ष उजव्या बाजूकडून डावीकडे नेले, तेव्हा चिन्ह बदलले हा नियमसुद्धा लक्षात ठेवायला हवा नाही का?’’ मनीषा म्हणाली.
‘‘होय, हा नियम लक्षात ठेवण्यासाठी समीकरणाचं मधलं = हे चिन्ह म्हणजे चिन्ह बदलाचा पूल आहे असं ध्यानात ठेवावं, कारण कुठलंही पद या पुलावरून पलीकडे नेताना त्याचं चिन्ह बदलावं लागतं.’’ अशोकने सुचवलं.
‘‘छान, हे लक्षात ठेवायला मदत करेल. हा नियमदेखील आपल्या पहिल्या नियमातून मिळतो. -१२ हे डावीकडून उजवीकडे नेणे म्हणजेच दोन्ही बाजूंना १२ मिळवणे हे लक्षात आलं का? तसं केलं, की डाव्या बाजूला -१२ +१२ मिळून शून्य होतात, तर उजवीकडे १२ मिळवले जातात, पण हीच क्रिया -१२ डावीकडून उजवीकडे नेले व त्याचे उजवीकडे +१२ झाले अशी सांगता येते.’’ बाई म्हणाल्या.
‘‘एकदा समीकरण मांडलं आणि ते सोडवण्याचे नियम लक्षात ठेवले, की ते सोडवणं
अवघड नाहीये, पण समीकरण मांडणं कठीण दिसतंय.’’ मनीषा म्हणाली.
‘‘होय, ते जरा अवघड आहे, पण सावकाश विचार करत, अक्षराचा उपयोग करून दिलेली माहिती गणिती भाषेत लिहायची सवय करावी. सुरुवातीला वेळ लागला तरी चालेल, माहिती अचूकपणे समीकरणात आली पाहिजे. सराव हवाच. मग काही अवघड नाही. नाही तरी कुठलीही गोष्ट पटापट व अचूक करायला भरपूर सराव लागतोच ना? कुठलाही खेळ, पोहणं, सायकल चालवणं, गायन, वादन, किंवा नृत्य यांसारखी कला हे सरावाशिवाय चांगलं येतं का?’’ बाईंचं बोलणं पटलं सगळ्यांना.