गणितगप्पा : भूगोल आणि खगोल (भाग १)

‘‘अलीकडे सकाळच्या वेळी शाळेत जाण्यापूर्वी मुलांना सूर्योदय छान दिसतो, हिवाळ्यात सूर्य उशिरा, मुलं उठल्यावर उगवतो त्याचा परिणाम!’’ मनीषा म्हणाली.
‘‘हो, आणि तो पूर्वेकडे उगवताना, तसंच पश्चिमेकडे मावळताना रंगही सुरेख, लाल दिसतो.’’ शीतल म्हणाली.
‘‘तुम्हाला पूर्व, पश्चिम, उत्तर, दक्षिण या दिशा ओळखता येतात ना?’’ मालतीबाईंनी छोटय़ा मुलांना विचारले.
‘‘हो, सूर्य पूर्वेला उगवतो, पूर्वेकडे तोंड करून उभे राहिले, की मागे पश्चिम येते, त्या दिशेला सूर्य मावळतो.’’ नंदू म्हणाला.
‘‘पूर्वेकडे तोंड केल्यावर उजवीकडे दक्षिण, तर डावीकडे उत्तर असते.’’ हर्षां म्हणाली.
‘‘शिवाय तुम्हाला समांतर रेषा कशा असतात तेही सांगितलंय मागे!’’ बाईंनी आठवण करून दिली.
‘‘हो, सरळ जाणाऱ्या, एकमेकींना न भेटता त्यांच्या मधलं अंतर कायम ठेवणाऱ्या समांतर रेषा असतात, आगगाडीच्या रुळांसारख्या.’’ नंदू म्हणाला.
‘‘शाबास, मग आजचं कोडं मोठय़ा मुलांप्रमाणे तुम्हालाही समजेल, सोडवता येईल. सगळे हवं तर कागद, पेन्सिल घेऊन बसा.’’ इति बाई.
‘‘आकृती काढायची आहे असं दिसतंय.’’ सतीश पुटपुटला.
कागद, पेन्सिली बाहेर आल्यावर बाईंनी कोडं सांगायला सुरुवात केली. ‘‘एक माणूस दक्षिणेकडे तोंड करून दहा किलोमीटर चालत गेला. मग डावीकडे वळून पूर्वेकडे तोंड करून दहा किलोमीटर चालत गेला. नंतर परत डावीकडे वळून उत्तरेकडे तोंड करून दहा किलोमीटर चालत गेला. तेव्हा तो जिथून निघाला होता, त्याच जागेवर पोहोचला. हे कसं शक्य झालं?’’
‘‘हे अशक्य दिसतंय, आपण कागदावर आकृती काढून पाहू.’’ अशोक म्हणाला. सगळ्यांनी आपापली आकृती काढली, ती साधारण अशी होती.
(आकृती १ पाहा)
अशोक सांगू लागला, ‘‘तो माणूस अ पासून निघाला, दक्षिणेकडे ब पर्यंत गेला, मग पूर्वेकडे क पर्यंत गेला, आता उत्तरेकडे गेला, की त्याचा मार्ग अब या रेषेला समांतर जातो, तो पुन्हा अ ला कसा पोहोचेल? अशक्यच आहे, कारण समांतर रेषा एकमेकींना भेटत नाहीत.’’
बाकीच्या लोकांना तसंच वाटत होतं. मग बाई म्हणाल्या, ‘‘तो माणूस पृथ्वीवर चालत होता, सपाट कागदावर किंवा प्रतलावर म्हणजे इंग्रजीत प्लेनवर चालत नव्हता. आपल्या जवळपासची जमीन सपाट दिसली, तरी पृथ्वी गोल आहे, तेव्हा त्याचा प्रवास शक्य होण्यासाठी त्याने कुठून चालायला सुरुवात केली असेल?’’
‘‘अच्छा, पृथ्वी तर चेंडूसारखी गोल आहे, मग जरा नीट पाहायला हवं.’’ अशोकच्या लक्षात आलं.
‘‘या प्रकारच्या गोष्टी मॉडेल समोर असेल, तर चांगल्या समजतात. तुझ्याजवळ फुटबॉल आहे का नंदू?’’ बाईंनी विचारले.
‘‘फुटबॉलसारखा मोठा चेंडू आहे.’’ असं म्हणून नंदू चेंडू घेऊन आला.
‘‘पण आता पूर्व, पश्चिम, उत्तर, दक्षिण या दिशा कशा ठरवायच्या?’’ हर्षांने विचारले.
‘‘उत्तर ध्रुव आणि दक्षिण ध्रुव त्या दिशा ठरवतात ना?’’ सतीशला आठवले.
‘‘आणि पूर्व-पश्चिम?’’ नंदूने विचारले.
‘‘आता आपण आधी एक उत्तर ध्रुव आणि त्याच्या बरोबर विरुध्द जागेवर दक्षिण ध्रुव हे निश्चित करू. मग लक्षात घ्या की, प्रत्येक जागेमधून एक रेखांश रेषा उत्तर ध्रुव आणि दक्षिण ध्रुव यांना जोडणारी अशी जाते, ती त्या जागेची उत्तर व दक्षिण दिशा ठरवते. शिवाय एक आडवे वर्तुळ जाते, ते रेखांश रेषेला लंब असते, त्यावर उजवीकडे पूर्व दिशा, तर डावीकडे पश्चिम दिशा आहे.’’ बाई सावकाश सांगत गेल्या, ते सगळ्यांना पटत होतं.
(आकृती २ पाहा)
‘‘पण मग दोन िबदूंतून जाणाऱ्या, उत्तर-दक्षिण दिशांना जाणाऱ्या रेषा समांतर नाहीत, त्या उत्तर ध्रुवावर आणि दक्षिण ध्रुवावर मिळतात!’’ शीतल उद्गारली.
‘‘हो, म्हणून आपण काढलेली पहिली आकृती पृथ्वीवरील नकाशासाठी अचूक नाही. आपले युक्लिडच्या भूमितीचे नियम पृथ्वीवर चालत नाहीत.’’ बाई म्हणाल्या.
‘‘वास्तविक भूमिती हा शब्द भू म्हणजे पृथ्वीवरील मोजमापं व आकृत्या यासाठी आहे ना?’’ मनीषा म्हणाली.
‘‘होय, पण आपण शाळेत सपाट प्रतलावरची किंवा प्लेनवरची भूमिती शिकतो. गोल पृष्ठभागावर वेगळी गृहीतके घ्यावी लागतात, म्हणून वेगळे निष्कर्ष येतात.’’ बाईंनी महत्त्वाचा मुद्दा सांगितला.
अशोक अजून विचार करत होता. तो म्हणाला, ‘‘उत्तर ध्रुवावरून उत्तरेकडे किंवा दक्षिण ध्रुवावरून दक्षिणेला जाता येणार नाही.’’
‘‘बरोबर आहे तुझं. आता आपण पृथ्वीवर दिशा कशा ठरवायच्या ते पाहिलं, तर कोडं सोडवूया का? आता पाहा बरं तो माणूस कुठून निघाला, तर आपले चालणे संपवून आरंभाच्या जागी पोहोचेल?’’ इति बाई.
अशोक व शीतल दोघांना उत्तर सापडलं. ‘‘उत्तर ध्रुवावरून सुरुवात केली चालायला.’’ असं म्हणून अशोकने उत्तर ध्रुवावरून पेन्सिल नेऊन त्या माणसाचे चालणे दाखवले. मनीषा अजूनही बुचकळ्यात पडलेली होती. ती म्हणाली, ‘‘पृथ्वीवर सरळ रेषा कशी असेल? उत्तर ध्रुवावरून दक्षिणेकडे जाणारी कुठली रेषा घ्यायची?’’
‘‘अगदी योग्य शंका आहेत तुझ्या. कुठल्याही दोन िबदूंना जोडणारी सरळ रेषा म्हणजे त्यांना जोडणारी सर्वात लहान लांबीची रेषा अशी व्याख्या घेऊन पाहा कुठल्या सरळ रेषा आहेत ते. असं दिसेल की, पृथ्वीवर कुठल्याही िबदूतून जाणारी सरळ रेषा ही, तो िबदू व पृथ्वीगोलाचा मध्य यामधून जाणारे प्रतल व पृथ्वी याना छेदणारे वर्तुळ असते. उदाहरणार्थ रेखांश रेषा सरळ रेषा आहेत. त्यामुळे या सरळ रेषांचे नियम युक्लिडच्या भूमितीपेक्षा वेगळे असतात. तुझ्या दुसऱ्या प्रश्नाचं उत्तर असं की, उत्तर ध्रुवावरून कुठलीही रेखांश रेषा दक्षिणेकडेच जाते.’’ बाईंनी समजावले, तरी मुले जरा गोंधळलेली, विचारमग्न होती. शीतल म्हणाली, ‘‘इथे सगळ्या सरळ रेषा एकमेकींना छेदतात म्हणजे समांतर अशा सरळ रेषा नाहीतच.’’
‘‘बरोबर आहे हेसुद्धा. गृहीतके बदलली, की निष्कर्ष बदलतात हे पुन:पुन्हा दिसतंय. पृथ्वीवर समांतर सरळ रेषा नाहीतच, उलट काही पृष्ठभाग असेही असतात की, एका सरळ रेषेला बाहेरच्या िबदूतून एकाहून जास्त समांतर रेषा असतात; पण आपण त्या विचित्र परिस्थितीचा विचार करणार नाही. पृथ्वीचाच करू. तरी या नव्या माहितीप्रमाणे अशोक व शीतलचं उत्तर बरोबर आहे. तो माणूस उत्तर ध्रुवावरून निघाला, तर आपला दिलेला मार्ग पुरा करून आरंभीच्या जागी पोहोचेल. आता आणखी थोडा विचार करा. असाच मार्ग चालून पुन्हा आरंभीच्या जागी पोहोचेल अशा आणखी वेगळ्या जागा आहेत का?’’ बाईंच्या कोडय़ावर मुले विचार करत होती, पण कुणाला उत्तर येईना.
‘‘हरकत नाही, जास्त वेळ घ्या विचार करायला, पुढच्या वेळी उत्तर पाहू. आणखी जागा दक्षिण गोलार्धात आहेत एवढं सांगून ठेवते. शिवाय त्या वेळी आपण हिवाळ्यात सूर्योदयाची जागा दक्षिणेकडे सरकते, त्याचा वेगवेगळ्या जागांवर कसा नाटय़पूर्ण परिणाम होतो ते पाहू.’’ सगळ्यांना विचार करायला भरपूर खाद्य देऊन बाईंनी निरोप घेतला.