कुतूहल : प्रश्न ढिगाऱ्याचा

नगण्य अशा वाळूच्या ढिगाऱ्यानेही गणितज्ञांना नवे सिद्धांत शोधायला भाग पाडले आहे. कसे ते पाहू. यासाठी ‘वाळूच्या ढिगाऱ्यातून एक वाळूचा कण कमी केला, तरी उरतो तो वाळूचा ढिगाराच असतो’, या सर्वमान्य होणाऱ्या विधानाला आपण गृहीतक मानूया आणि मनातल्या मनातच त्यातला एकेक कण कमी करण्याचे काम सुरू करूया. ढिगारा कितीही मोठा असला तरी त्यातील कणांची संख्या ही सांत (फायनाइट) आहे. त्यामुळे वाळूचे कण कमीकमी केल्यावर कधीतरी ते संपून जाणारच.

आता वरच्या गृहीतकानुसार, ढिगाऱ्यातील एकेक कण कमी झाल्यानंतर उरतो तोसुद्धा वाळूचा ढिगाराच आहे. याचाच अर्थ एकही वाळूचा कण नसणे या स्थितीलाही ढिगाराच म्हटले पाहिजे. हे तात्पर्य मात्र कुणीच मान्य करणार नाही.

सर्वमान्य गृहीतकातून अमान्य होणारे तात्पर्य निघणे म्हणजे विरोधाभास! या विरोधाभासातील कमकुवत दुवा म्हणजे ढिगारा ‘असणे’ आणि ‘नसणे’ याबद्दलची संदिग्ध कल्पना. या दोन्ही कल्पनांची काटेकोर गणिती व्याख्या दिली तर ही विसंगती दूर होईल. उदाहरणार्थ, दहा हजारांहून जास्त कण म्हणजे ढिगारा असणे आणि त्याहून कमी कण म्हणजे ढिगारा नसणे असे निश्चित करणे. पण दहा हजार कणांचा तो ढिगारा नाही, मात्र त्यात एकच कण वाढवल्यावर तो ढिगारा बनेल, ही व्याख्या मनाला पटत नाही.

मुळात ढिगारा ‘असणे’ आणि ‘नसणे’ या दोनच स्थिती आपण विरोधाभासात कल्पिलेल्या आहेत. प्रत्यक्षात मात्र या दोन स्थितींदरम्यान, ढिगारा कमीकमी होताना अनेक स्थित्यंतरे घडतात. तेव्हा या दोन अवस्था व त्यातली स्थित्यंतरे यांना ‘०’ आणि ‘१’ यामधल्या सर्व किमती देता येतील. एकही कण उचलला नसेल तेव्हा ढिगारा ‘असणे’ याची किंमत ‘१’ असेल. ढिगारा अर्धा उरल्यानंतर ‘०.५’, पाव उरल्यानंतर ‘०.२५’ आणि सर्व कण संपतील तेव्हा ती ‘०’ होईल. या दोनहून अधिक शक्यता वापरण्याच्या तर्कशास्त्राला फझी लॉजिक किंवा बहुमूल्यांचे तर्कशास्त्र म्हणतात. इसवी सनाच्या पूर्वीच्या ग्रीक काळात सुचवल्या गेलेल्या या विरोधाभासाकडे एकोणिसाव्या शतकात पुन: लक्ष वेधले गेले आणि त्यातूनच गणिताच्या या नव्या शाखेचा उदय झाला. या गणितीशाखेचा अनेक ठिकाणी आज व्यवहारात उपयोग केला जातो.

मराठी विज्ञान परिषद, वि. ना. पुरव मार्ग,  चुनाभट्टी,  मुंबई २२

office@mavipamumbai.org