कुतूहल : अनंताची मुळे

‘धावण्याच्या शर्यतीत कमी वेगवान स्पर्धकाने जर थोडेसे पुढून शर्यत सुरू केली, तर वेगवान स्पर्धक कधीच जिंकू शकणार नाही’ झेनोचे हे विधान समजून घेण्यासाठी आपण अकिलिस (ग्रीक पुराणातील महान योद्धा) आणि कासव यांची धावण्याची शर्यत पाहू या. अकिलिस कासवाच्या दहापट अधिक वेगाने धावतो आणि स्पर्धेच्या सुरुवातीला कासव १०० एकके अंतर अकिलिसच्या पुढे आहे, असे गृहीत धरू या. झेनोच्या युक्तिवादानुसार अकिलिसला प्रथम हे १०० एकके अंतर पार करावे लागेल. तेवढय़ा वेळात कासव १० एकके पुढे जाईल. अकिलिसला जेव्हा हे १० एकके अंतर पार करावे लागेल, तेवढय़ा वेळात कासव आणखी १ एकक अंतर पुढे गेलेले असेल. असाच युक्तिवाद वापरत राहिल्यास प्रत्येक वेळी कासवच पुढे असेल. म्हणजेच अकिलिस ही शर्यत कधीच जिंकू शकणार नाही.

प्रत्यक्ष शर्यतीचा विचार केला तर अधिक वेगवान अकिलिस जिंकायलाच हवा. झेनोचा युक्तिवाद अर्थातच चुकीचा आहे; पण झेनोच्या युक्तिवादातील चूक सापडण्यासाठी दोन हजारांहून अधिक वर्षे जावी लागली. सतराव्या शतकात कलनशास्त्रातील अनंत संख्याश्रेणीचा (सीरिज) अभ्यास सुरू झाला आणि या विरोधाभासातील चूक सापडली. झेनोच्या युक्तिवादात कासव जितके अंतर अकिलिसच्या पुढे असेल, ते अंतर १०० + १० + १ + ०.१ + .. अशा अनंत भागांत विभागले आहे; पण अनंत संख्यांची बेरीज नेहमी अनंत असेलच असे नाही. या उदाहरणात ती बेरीज १११.१११.. एकके इतकी भरते. त्यामुळे इतके अंतर धावून होईपर्यंत अकिलिस कासवाच्या मागे असेल व त्यानंतर मात्र तो नक्कीच कासवाच्या पुढे जाईल!

– माणिक टेंबे 

मराठी विज्ञान परिषद, वि. ना. पुरव मार्ग,  चुनाभट्टी,  मुंबई २२  office@mavipamumbai.org