कलनशास्त्राच्या वाटेने..

झेनोचा आणखी एक विरोधाभास म्हणजे बाणाचा विरोधाभास. वस्तूचे विस्थापन होण्यासाठी तिचे स्थान बदलणे आवश्यक असते. त्यासाठी झेनो धनुष्यातून सोडलेल्या बाणाचे उदाहरण देतो. कुठल्याही एका विशिष्ट काळी म्हणजे कालबिंदूपाशी बाण हा स्थिरच असणार. कारण बाणाचे स्थान म्हणजे स्थानबिंदू बदलण्यासाठी कालबिंदूही बदलायला हवा. मात्र जर कालबिंदूशी बाण स्थिर असेल तर बाण पुढे जाऊच शकणार नाही. एखाद्याचे चालणे, बाणाचा प्रवास, हे आपण सगळेच अनेकदा अनुभवतो. त्यामुळे झेनोच्या विरोधाभासाचे निष्कर्ष चुकीचे ठरतात; परंतु त्यातील नेमकी विसंगती अधोरेखित करणे सोपे नाही. आजही हे विरोधाभास प्रथम वाचणाऱ्याला चक्रावून टाकतात.

झेनोच्या काळात, कालखंडांचे किंवा रेषाखंडांचे सातत्य (कंटिन्युइटी) ही कलनशास्त्रातील (कॅलक्युलस) संकल्पना विकसित झालेली नव्हती. तसेच गणिती अनंताचे (इन्फिनिटी) स्वरूपही उलगडले नव्हते. सातत्य ही संकल्पना सतराव्या शतकात विकसित झाली आणि गणिती अनंताचे स्वरूप एकोणिसाव्या शतकात उलगडले. तोपर्यंत असे अनेक विरोधाभास निर्माण होत राहिले. झेनोच्या वरील विरोधाभासांत ‘अंतर आणि काल हे १, २, ३.. अशा अनंत क्रमवार आणि अविभाज्य बिंदूंनी बनले आहेत’ असे मानले आहे.

या चुकीच्या गृहीतकावरून काढलेले निष्कर्ष हेसुद्धा चुकीचे ठरतात.

प्रगत गणिताने मात्र या सर्वच विरोधाभासांची उत्तरे दिली आहेत. तरीही कलनशास्त्रासारख्या गणिती शाखांना आणि अनंतासारख्या गणिती संकल्पनांच्या शोधाला चालना देणाऱ्या या विरोधाभासांना गणिताच्या इतिहासात महत्त्वाचे स्थान आहे.

– माणिक टेंबे

मराठी विज्ञान परिषद,

वि. ना. पुरव मार्ग,  चुनाभट्टी,  मुंबई २२ 

office@mavipamumbai.org