प्रतिक अघोर
साथीचा रोग किती पसरेल, बाधितसंख्या किती वाढेल आणि बरे झालेल्यांची संख्या कधी वाढून जग कधी त्या रोगापासून मुक्त होईल, याच्या शक्यतांची गणिती प्रारूपे अनेकदा मांडण्यात आली. त्यापैकी एक प्रारूप म्हणजे ‘एसआयआर मॉडेल’! हे अगदी सोपे प्रारूप आहे.. कदाचित आजच्या वास्तवाशी ते जुळणारे नसेल, पण असे प्रारूप असू शकते आणि त्यातूनही ‘घरी बसा, काळजी घ्या ’ हाच बोध होतो, हे महत्त्वाचे..!
आजकाल करोना विषाणूने जगभर धुमाकूळ घातला आहे. जागतिक आरोग्य संघटना (वर्ल्ड हेल्थ ऑर्गनायझेशन किंवा आद्याक्षरांनुसार ‘हू’ ) ने या साथीला जागतिक साथ किंवा पँडेमिक म्हणून घोषित केले आहे. सद्य परिस्थितीत ‘वर्क फ्रॉम होम’- घरून काम- आणि साथसोवळे (सोशल डिस्टिन्सग) ची आवाहने केली जात आहेत, सगळीकडे टाळेबंदी- लॉकडाउन होत आहेत. ‘एक्सपोनेन्शिअल ग्रोथ’ आणि ‘लॉगॅरिदम्स’ सारख्या गणिती संकल्पना रोजच्या वापरात आल्या आहेत. वैद्यकीय क्षेत्रातल्या आपत्तीची ही अशी गणिती शब्दांतली चर्चा का महत्त्वाची आहे? यामागे काही गणित आहे का? – होय, नक्की आहे..
तसे पाहू गेले तर सतराव्या शतकात ‘मॅथेमॅटिकल बायोलॉजी’ म्हणजे ‘गणिती जीवशास्त्रा’चा उदय झाला. सतराव्या शतकात जॉन गॅ्रण्ट ह्याने गणिताचा वापर करून मरणाची कारणे शोधण्याचा प्रयत्न केला होता. अठराव्या शतकामध्ये शरीरवैद्यकीय पेशात (फिजिशियन) असलेल्या डॅनिअल बर्नोलीने देवीचा रोग पसरण्याचे गणिती मॉडेल- प्रारूप- तयार केले होते. त्यानंतर विसाव्या शतकात विलियम हॅमर आणि रोनाल्ड रॉस यांनी रसायनशास्त्रातील ‘लॉ ऑफ मास अ‍ॅक्शन’ वापरून साथीचे रोग कसे पसरतात हे शोधायचा प्रयत्न केला होता. श्रीनिवास रामानुजनना इंग्लडला बोलवणारे आणि त्यांना मार्गदर्शन केलेले हार्डी यांनी यांनी जनुकशास्त्रीय अनुमान काढण्यासाठी गणित वापरले होते. पुढे अ‍ॅलन टय़ूरिंगने १९५२ मध्ये चित्ता, झेब्रा, जिराफ इत्यादी प्राण्यांच्या पाठीवरील नक्षीकामाचा उगम सोप्या अरेषीय (नॉन-लीनिअर) समीकरणांमध्ये असू शकतो असा सिद्धान्त मांडला होता. त्यानंतर अनेकांनी अनेक जीवशास्त्रीय निरीक्षणे गणिताच्या आधारे समजावून घेण्यासाठी वेगवेगळी प्रारूपे तयार केली. त्यातूनच ‘इन्फेक्शियस डिसीझ मॉडेलिंग’ म्हणजे साथीचे रोग पसरण्याच्या गतीचे प्रारूप करणे सुरू झाले.
या प्रारूपांपैकी एक अतिशय महत्त्वाचे आणि अनेक किचकट गोष्टींचे अंतरंग उलगडवून दाखवणारे एक सोपे प्रारूप म्हणजे SIR मॉडेल. ते आपण इथे पाहूच, पण त्याआधी हेही लक्षात ठेवू की हे फक्त एक साधे मॉडेल आहे, त्यामुळे खऱ्या जगाशी ते हुबेहूब जुळेलच असे नाही, पण आकडय़ांमध्ये होणारे चढउतार समजून घेण्यासाठी ही एक पहिली पायरी आहे. ‘एसआयआर’अशा इंग्रजी अक्षरांपैकी ‘एस’ हे ससेप्टिबल (संशयित), ‘आय’ हे इन्फेक्टेड (बाधित) आणि ‘आर’ हे रिकव्हर्ड (बरे झालेले) लोक, यांसाठी वापरले गेले आहे. मॉडेलिंग म्हणजे प्रारूप-बांधणी सुरू करताना आपण काही गृहीतके मानू या. असे मानू की, जगात एक साथीचा रोग पसरत आहे. या रोगामुळे कुणीही मरत नाही आणि या जगात आणखी कुणीही जन्माला येत नाही. जगाची लोकसंख्या आपण N (एन्)ने दर्शवूया. कुणीही मरत नसल्याने आणि नवीन जन्माला येत नसल्याने S + I + R = N हे सर्व काळासाठी सत्य आहे.
आता हा रोग पसरत असताना सुरुवातीला काही कारणाने समजा I० (I० सह सर्व संख्या मराठी चिन्हांत) लोकांना लागण झाली आहे आणि उरलेले सगळे लोक ससेप्टिबल आहेत. सुरुवातीला रिकव्हर्ड लोक कुणीही नसतील. समजा आपण सुरुवातीला जेव्हा I० रुग्ण आढळले तेव्हापासूनचा काळ मोजणे सुरू केले, म्हणजे जेव्हा I0 रुग्ण आढळले तेव्हा आपण मानूया की t = ०. ‘टी’म्हणजे टाइम- हा आपण दिवसांत मोजू शकतो, उदाहरणार्थ t = 15 म्हणजे t = 0 नंतरचा पंधरावा दिवस.
सुरुवातीला कुणीही रिकव्हर्ड लोक नसल्याने
t = ० ला S० + N० = ठ हे समीकरण असेल.
आता हळूहळू ससेप्टिबल लोक बाधित होत जातील..
ससेप्टिबल लोकांच्या आकडय़ामध्ये होणारा बदल आपण (dS/d) ने दर्शवूया. यासाठी गणितातील कॅल्क्युलसशी असलेली तोंडओळख उपयोगी आहे, पण कॅल्क्युलस येत नसेल तर dS/d चा अर्थ dt काळात S च्या आकडय़ामध्ये dS एवढा बदल झाला. हे अगदी काटेकोर किंवा ‘रिगरस’ गणित नाही, पण सध्यापुरते पुरेसे आहे.
तर अशा वेळी ‘एसआयआर’ मॉडेलनुसार
dS/dt = – a I S
याचा अर्थ कसा लावायचा? dS/dt समोरील वजा (उणे) चिन्ह दर्शवते की ससेप्टिबल लोकांची संख्या कमी होत चालली आहे. का? कारण जसजसे लोक इन्फेक्ट होतील, तसतसे ससेप्टिबल लोक, म्हणजे ज्यांना रोग होऊ शकतो, ते लोक साहजिकच कमी होत जातील. वरील समीकरणापैकी ‘ए’ हे इंग्रजी अक्षर हा एक स्थिरांक आहे, त्याबद्दल नंतर. आधी ‘आय’ आणि ‘आर’ चा गुणाकार काय दर्शवतो? ‘आय’चे तिथे असणे मघाशी लिहिल्याप्रमाणे दाखवते की, जितके जास्त लोक इन्फेक्टेड असतील तितक्या जास्त गतीने ससेप्टिबल लोकांची संख्या कमी होत जाईल. आणि शेवटी ‘आर’ चे तिथे असणे दाखवते की उद्या किती लोक ससेप्टिबल असतील हे आज किती लोक ससेप्टिबल आहेत यावर अवलंबून असते.
अशाच पद्धतीने आपण इन्फेक्टेड लोकांची संख्या कशी बदलते याचेही गणिती भाकीत करू शकतो. ‘एसआयआर’ मॉडेलनुसार : dI/dt = a I S – b I
आधीप्रमाणेच (dI/dt) इन्फेक्टेड लोकांची संख्या कशी बदलते हे दर्शवते. a I S – b I चा अर्थ कसा लावायचा? aIS ही टर्म सरळपणे पहिल्या म्हणजेच dS/dt च्या समीकरणाशी संबंधित आहे. मात्र aIS ही टर्म इथे + चिन्हाबरोबर आहे, कारण जितके ससेप्टिबल लोक कमी झाले तितके इन्फेक्टेड लोक वाढले आहेत! पण मग पुढची टर्म (- b I) काय दाखवते? इन्फेक्टेड लोक इन्फेक्शन पसरल्याने वाढताहेत, पण काही लोक रिकव्हरसुद्धा होऊ लागलेले आहेत, त्यामुळे इन्फेक्टेड लोकांची रिकव्हरीमुळे कमी होणारी संख्या (- b I) या टर्मने ‘एसआयआर’ मॉडेल बरोबर दर्शवू शकते.
शेवटी रिकव्हर्ड लोकांची संख्या dR/dt
dR/dt = bI, ही किती इन्फेक्टेड लोक रिकव्हर झाले आहेत हे दाखवते.
एकत्र लिहायचे तर, ही तीन समीकरणे म्हणजेच ‘एसआयआर’ मॉडेल आहे.
dS/dt = -a I S
dI/dt = a I S – b I
dR/dt = bI
t = ० ला S (t = ०) = S ०, क(t = ०) = I0 , R(t = ०) = ०.
ही समीकरणे एकमेकांवर अवलंबून असल्यामुळे त्यांना ‘कपल्ड’ म्हणतात आणि ‘ a I S’ सारख्या टर्म मुळे ती नॉन-लीनिअर किंवा अरेषीय देखील आहेत. त्यामुळे ‘एसआयआर’मॉडेल हे एक ‘कपल्ड नॉन-लीनिअर मॉडेल’ आहे. ही समीकरणे आपण संगणकाच्या आधारे सोडवू शकतो.
समजा जगात एकूण ५०० लोक आहेत (N = ५००) आणि सुरुवातीला एक मनुष्य इन्फेक्टेड आहे. तर हळूहळू S, I आणि R हे कसे बदलत जातील हे सोबतच्या आलेखात दाखवले आहे. इन्फेक्टेड लोकांचा आलेख सुरुवातीला एक्सपोनेन्शिअली वाढून मग हळूहळू कमी व्हायला लागतो.
इन्फेक्टेड लोक कमी व्हायला कधी सुरुवात होईल? जेव्हा (a I S – b I) हे उणे, किंवा निगेटिव्ह होईल. म्हणजेच,१
a I S – b I < ०
=> aS – b < ०
=> aS < b
=> (aS/b) < १
या संख्येला R० ने दर्शवले जाते. R० = aS/b.
जेव्हा R० > १ असतो, तेव्हा रुग्णांची संख्या वाढत असते;
तर जेव्हा R० < १ असतो, तेव्हा ती कमी होत असते.
R० कमी करण्याचे मार्ग काय? एकतर आपण ‘a’ कमी करू शकतो किंवा लस उपलब्ध असेल तर S कमी करू शकतो. ‘b ’ वाढवून देखील R० कमी होऊ शकतो पण ‘b’ वाढवणे म्हणजे लोकांची प्रतिकारशक्ती वाढवण्यासारखे आहे – कमी काळात हे शक्य नसते. सध्या करोना विषाणूवर लस उपलब्ध नसल्याने आपण S कमी करू शकत नाही. त्यामुळे ‘a’ कमी करणे हेच फक्त आपल्या हातात आहे.
या इन्फेक्टेड लोकांच्या आलेखाचा कळस आपण हात धुवून, साथसोवळे पाळून आणि टाळेबंदीचे पालन करून खाली आणू शकतो.
लोकांच्या इच्छेवर अवलंबून असलेल्या या उपायांमुळे थोडक्यात सांगायचे तर आपण ‘a’ हा आकडा आणि पर्यायाने R० कमी करत असतो. त्यामुळे वैद्यकीय प्रणालीवर पडणारा ताण कमी होऊन ज्यांना मदतीची गरज आहे, त्या इन्फेक्टेड लोकांना वैद्यकीय उपचार मिळू शकतात.
म्हणूनच गणिताचे आणि शास्त्रज्ञांचे म्हणणे ऐका आणि उगीच बाहेर फिरू नका, नाहीतर दिसणारे दुसरे चित्र आशादायी नाही.
लेखक अमेरिकेतील न्यू हॅम्पशायर विद्यापीठात गणिताचे अध्ययन करीत आहेत. ईमेल : pratik.aghor54@gmail.com
साथीचा रोग किती पसरेल, बाधितसंख्या किती वाढेल आणि बरे झालेल्यांची संख्या कधी वाढून जग कधी त्या रोगापासून मुक्त होईल, याच्या शक्यतांची गणिती प्रारूपे अनेकदा मांडण्यात आली. त्यापैकी एक प्रारूप म्हणजे ‘एसआयआर मॉडेल’! हे अगदी सोपे प्रारूप आहे.. कदाचित आजच्या वास्तवाशी ते जुळणारे नसेल, पण असे प्रारूप असू शकते आणि त्यातूनही ‘घरी बसा, काळजी घ्या ’ हाच बोध होतो, हे महत्त्वाचे..!
आजकाल करोना विषाणूने जगभर धुमाकूळ घातला आहे. जागतिक आरोग्य संघटना (वर्ल्ड हेल्थ ऑर्गनायझेशन किंवा आद्याक्षरांनुसार ‘हू’ ) ने या साथीला जागतिक साथ किंवा पँडेमिक म्हणून घोषित केले आहे. सद्य परिस्थितीत ‘वर्क फ्रॉम होम’- घरून काम- आणि साथसोवळे (सोशल डिस्टिन्सग) ची आवाहने केली जात आहेत, सगळीकडे टाळेबंदी- लॉकडाउन होत आहेत. ‘एक्सपोनेन्शिअल ग्रोथ’ आणि ‘लॉगॅरिदम्स’ सारख्या गणिती संकल्पना रोजच्या वापरात आल्या आहेत. वैद्यकीय क्षेत्रातल्या आपत्तीची ही अशी गणिती शब्दांतली चर्चा का महत्त्वाची आहे? यामागे काही गणित आहे का? – होय, नक्की आहे..
तसे पाहू गेले तर सतराव्या शतकात ‘मॅथेमॅटिकल बायोलॉजी’ म्हणजे ‘गणिती जीवशास्त्रा’चा उदय झाला. सतराव्या शतकात जॉन गॅ्रण्ट ह्याने गणिताचा वापर करून मरणाची कारणे शोधण्याचा प्रयत्न केला होता. अठराव्या शतकामध्ये शरीरवैद्यकीय पेशात (फिजिशियन) असलेल्या डॅनिअल बर्नोलीने देवीचा रोग पसरण्याचे गणिती मॉडेल- प्रारूप- तयार केले होते. त्यानंतर विसाव्या शतकात विलियम हॅमर आणि रोनाल्ड रॉस यांनी रसायनशास्त्रातील ‘लॉ ऑफ मास अ‍ॅक्शन’ वापरून साथीचे रोग कसे पसरतात हे शोधायचा प्रयत्न केला होता. श्रीनिवास रामानुजनना इंग्लडला बोलवणारे आणि त्यांना मार्गदर्शन केलेले हार्डी यांनी यांनी जनुकशास्त्रीय अनुमान काढण्यासाठी गणित वापरले होते. पुढे अ‍ॅलन टय़ूरिंगने १९५२ मध्ये चित्ता, झेब्रा, जिराफ इत्यादी प्राण्यांच्या पाठीवरील नक्षीकामाचा उगम सोप्या अरेषीय (नॉन-लीनिअर) समीकरणांमध्ये असू शकतो असा सिद्धान्त मांडला होता. त्यानंतर अनेकांनी अनेक जीवशास्त्रीय निरीक्षणे गणिताच्या आधारे समजावून घेण्यासाठी वेगवेगळी प्रारूपे तयार केली. त्यातूनच ‘इन्फेक्शियस डिसीझ मॉडेलिंग’ म्हणजे साथीचे रोग पसरण्याच्या गतीचे प्रारूप करणे सुरू झाले.
या प्रारूपांपैकी एक अतिशय महत्त्वाचे आणि अनेक किचकट गोष्टींचे अंतरंग उलगडवून दाखवणारे एक सोपे प्रारूप म्हणजे SIR मॉडेल. ते आपण इथे पाहूच, पण त्याआधी हेही लक्षात ठेवू की हे फक्त एक साधे मॉडेल आहे, त्यामुळे खऱ्या जगाशी ते हुबेहूब जुळेलच असे नाही, पण आकडय़ांमध्ये होणारे चढउतार समजून घेण्यासाठी ही एक पहिली पायरी आहे. ‘एसआयआर’अशा इंग्रजी अक्षरांपैकी ‘एस’ हे ससेप्टिबल (संशयित), ‘आय’ हे इन्फेक्टेड (बाधित) आणि ‘आर’ हे रिकव्हर्ड (बरे झालेले) लोक, यांसाठी वापरले गेले आहे. मॉडेलिंग म्हणजे प्रारूप-बांधणी सुरू करताना आपण काही गृहीतके मानू या. असे मानू की, जगात एक साथीचा रोग पसरत आहे. या रोगामुळे कुणीही मरत नाही आणि या जगात आणखी कुणीही जन्माला येत नाही. जगाची लोकसंख्या आपण N (एन्)ने दर्शवूया. कुणीही मरत नसल्याने आणि नवीन जन्माला येत नसल्याने S + I + R = N हे सर्व काळासाठी सत्य आहे.
आता हा रोग पसरत असताना सुरुवातीला काही कारणाने समजा I० (I० सह सर्व संख्या मराठी चिन्हांत) लोकांना लागण झाली आहे आणि उरलेले सगळे लोक ससेप्टिबल आहेत. सुरुवातीला रिकव्हर्ड लोक कुणीही नसतील. समजा आपण सुरुवातीला जेव्हा I० रुग्ण आढळले तेव्हापासूनचा काळ मोजणे सुरू केले, म्हणजे जेव्हा I0 रुग्ण आढळले तेव्हा आपण मानूया की t = ०. ‘टी’म्हणजे टाइम- हा आपण दिवसांत मोजू शकतो, उदाहरणार्थ t = 15 म्हणजे t = 0 नंतरचा पंधरावा दिवस.
सुरुवातीला कुणीही रिकव्हर्ड लोक नसल्याने
t = ० ला S० + N० = ठ हे समीकरण असेल.
आता हळूहळू ससेप्टिबल लोक बाधित होत जातील..
ससेप्टिबल लोकांच्या आकडय़ामध्ये होणारा बदल आपण (dS/d) ने दर्शवूया. यासाठी गणितातील कॅल्क्युलसशी असलेली तोंडओळख उपयोगी आहे, पण कॅल्क्युलस येत नसेल तर dS/d चा अर्थ dt काळात S च्या आकडय़ामध्ये dS एवढा बदल झाला. हे अगदी काटेकोर किंवा ‘रिगरस’ गणित नाही, पण सध्यापुरते पुरेसे आहे.
तर अशा वेळी ‘एसआयआर’ मॉडेलनुसार
dS/dt = – a I S
याचा अर्थ कसा लावायचा? dS/dt समोरील वजा (उणे) चिन्ह दर्शवते की ससेप्टिबल लोकांची संख्या कमी होत चालली आहे. का? कारण जसजसे लोक इन्फेक्ट होतील, तसतसे ससेप्टिबल लोक, म्हणजे ज्यांना रोग होऊ शकतो, ते लोक साहजिकच कमी होत जातील. वरील समीकरणापैकी ‘ए’ हे इंग्रजी अक्षर हा एक स्थिरांक आहे, त्याबद्दल नंतर. आधी ‘आय’ आणि ‘आर’ चा गुणाकार काय दर्शवतो? ‘आय’चे तिथे असणे मघाशी लिहिल्याप्रमाणे दाखवते की, जितके जास्त लोक इन्फेक्टेड असतील तितक्या जास्त गतीने ससेप्टिबल लोकांची संख्या कमी होत जाईल. आणि शेवटी ‘आर’ चे तिथे असणे दाखवते की उद्या किती लोक ससेप्टिबल असतील हे आज किती लोक ससेप्टिबल आहेत यावर अवलंबून असते.
अशाच पद्धतीने आपण इन्फेक्टेड लोकांची संख्या कशी बदलते याचेही गणिती भाकीत करू शकतो. ‘एसआयआर’ मॉडेलनुसार : dI/dt = a I S – b I
आधीप्रमाणेच (dI/dt) इन्फेक्टेड लोकांची संख्या कशी बदलते हे दर्शवते. a I S – b I चा अर्थ कसा लावायचा? aIS ही टर्म सरळपणे पहिल्या म्हणजेच dS/dt च्या समीकरणाशी संबंधित आहे. मात्र aIS ही टर्म इथे + चिन्हाबरोबर आहे, कारण जितके ससेप्टिबल लोक कमी झाले तितके इन्फेक्टेड लोक वाढले आहेत! पण मग पुढची टर्म (- b I) काय दाखवते? इन्फेक्टेड लोक इन्फेक्शन पसरल्याने वाढताहेत, पण काही लोक रिकव्हरसुद्धा होऊ लागलेले आहेत, त्यामुळे इन्फेक्टेड लोकांची रिकव्हरीमुळे कमी होणारी संख्या (- b I) या टर्मने ‘एसआयआर’ मॉडेल बरोबर दर्शवू शकते.
शेवटी रिकव्हर्ड लोकांची संख्या dR/dt
dR/dt = bI, ही किती इन्फेक्टेड लोक रिकव्हर झाले आहेत हे दाखवते.
एकत्र लिहायचे तर, ही तीन समीकरणे म्हणजेच ‘एसआयआर’ मॉडेल आहे.
dS/dt = -a I S
dI/dt = a I S – b I
dR/dt = bI
t = ० ला S (t = ०) = S ०, क(t = ०) = I0 , R(t = ०) = ०.
ही समीकरणे एकमेकांवर अवलंबून असल्यामुळे त्यांना ‘कपल्ड’ म्हणतात आणि ‘ a I S’ सारख्या टर्म मुळे ती नॉन-लीनिअर किंवा अरेषीय देखील आहेत. त्यामुळे ‘एसआयआर’मॉडेल हे एक ‘कपल्ड नॉन-लीनिअर मॉडेल’ आहे. ही समीकरणे आपण संगणकाच्या आधारे सोडवू शकतो.
समजा जगात एकूण ५०० लोक आहेत (N = ५००) आणि सुरुवातीला एक मनुष्य इन्फेक्टेड आहे. तर हळूहळू S, I आणि R हे कसे बदलत जातील हे सोबतच्या आलेखात दाखवले आहे. इन्फेक्टेड लोकांचा आलेख सुरुवातीला एक्सपोनेन्शिअली वाढून मग हळूहळू कमी व्हायला लागतो.
इन्फेक्टेड लोक कमी व्हायला कधी सुरुवात होईल? जेव्हा (a I S – b I) हे उणे, किंवा निगेटिव्ह होईल. म्हणजेच,१
a I S – b I < ०
=> aS – b < ०
=> aS < b
=> (aS/b) < १
या संख्येला R० ने दर्शवले जाते. R० = aS/b.
जेव्हा R० > १ असतो, तेव्हा रुग्णांची संख्या वाढत असते;
तर जेव्हा R० < १ असतो, तेव्हा ती कमी होत असते.
R० कमी करण्याचे मार्ग काय? एकतर आपण ‘a’ कमी करू शकतो किंवा लस उपलब्ध असेल तर S कमी करू शकतो. ‘b ’ वाढवून देखील R० कमी होऊ शकतो पण ‘b’ वाढवणे म्हणजे लोकांची प्रतिकारशक्ती वाढवण्यासारखे आहे – कमी काळात हे शक्य नसते. सध्या करोना विषाणूवर लस उपलब्ध नसल्याने आपण S कमी करू शकत नाही. त्यामुळे ‘a’ कमी करणे हेच फक्त आपल्या हातात आहे.
या इन्फेक्टेड लोकांच्या आलेखाचा कळस आपण हात धुवून, साथसोवळे पाळून आणि टाळेबंदीचे पालन करून खाली आणू शकतो.
लोकांच्या इच्छेवर अवलंबून असलेल्या या उपायांमुळे थोडक्यात सांगायचे तर आपण ‘a’ हा आकडा आणि पर्यायाने R० कमी करत असतो. त्यामुळे वैद्यकीय प्रणालीवर पडणारा ताण कमी होऊन ज्यांना मदतीची गरज आहे, त्या इन्फेक्टेड लोकांना वैद्यकीय उपचार मिळू शकतात.
म्हणूनच गणिताचे आणि शास्त्रज्ञांचे म्हणणे ऐका आणि उगीच बाहेर फिरू नका, नाहीतर दिसणारे दुसरे चित्र आशादायी नाही.
लेखक अमेरिकेतील न्यू हॅम्पशायर विद्यापीठात गणिताचे अध्ययन करीत आहेत. ईमेल : pratik.aghor54@gmail.com
